寻求一个光滑的最大值函数

这篇文章的目的是推导最大值函数\max(x,y)的一个光滑可导函数，并且该函数具有多阶可导性。实际上这和深度学习的关系并不是特别大，只有极少数情况会用到

在数学分析中，当x\ge0,y\ge0时，我们有

\max(x,y) = \frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|)\tag{1}

那么，为了寻求一个最大值的光滑函数，我们首先考虑寻找一个能够近似表示绝对值|x|的函数。那么，哪些函数可以使用呢？

直接观察挺难发现哪个函数可以使用的，我们将问题逐步向简单推进。对f(x)=|x|求导，除了x=0这一点外，其他都可以顺利求导

f'(x) = \begin{cases}1,\quad &x>0\\-1, \quad &x < 0\end{cases} \tag{2}

到此为止，我们要做的是利用一个函数g(x)，将其仿射变换为f'(x)。而关于函数g(x)的选择，应该至少满足以下两点：

应该是个分段函数
求不定积分简单，或者说至少能查到\int g(x)dx的结果

实际上g(x)也确实有许多满足上述两点的选择，以下就分别给出选择\text{sign}(x)和单位阶跃函数\theta(x)的推导

\text{sign}(x)

首先回顾\text{sign}(x)的形式：

\text{sign}(x)=\begin{cases}1,\quad &x>0\\-1, \quad &x < 0\end{cases} \tag{3}

于是就有f'(x)=\text{sign}(x)，下面只需要寻求\text{sign}(x)的近似函数，很容易想到

\text{sign}(x)=\lim_{k\to +\infty} \tanh(kx)\tag{4}

其中，\tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}。由于f'(x)=\tanh(kx)，积分得

\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{k}\ln(\cosh(kx))\\ &=\frac{1}{k}\ln(\frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2})\\ &=\frac{1}{k}[\ln(e^{kx}+e^{-kx})-\ln2] \end{aligned}\tag{5}

不难发现，(5)式中的对数部分，在k足够大的时候，常数\ln2的影响微乎其微，把它去掉之后，我们有一个比较简单的绝对值函数：

|x|=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{-kx})\tag{6}

\theta(x)

首先回顾单位阶跃函数\theta(x)的形式：

\theta(x)=\begin{cases}1,\quad &x>0\\0, \quad &x < 0\end{cases} \tag{7}

那么

f'(x) = 2\theta(x) - 1 \tag{8}

下面只需要寻求\theta(x)的近似函数，物理学家已经提供现成的函数给我们了，一个比较简单的形式是

\theta(x)=\lim_{k\to +\infty} \sigma(kx)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{1+e^{-k x}}\tag{9}

那么我们就可以取\frac{1}{1+e^{-kx}}作为近似函数了，带入(8)式得到\frac{2}{1+e^{-kx}} - 1，积分得

\begin{aligned}f(x)&=\frac{2}{k}\ln(1+e^{kx})-x\\ &= \frac{1}{k}\ln(1+e^{kx}) +\frac{1}{k}[\ln(1+e^{kx}) -\ln e^{kx}]\\ &=\frac{1}{k}\left[\ln(1+e^{kx})+\ln(1+e^{-kx})\right]\\ &=\frac{1}{k}\ln(2+e^{kx}+e^{-kx})\end{aligned}\tag{10}

同理，当k足够大的时候，常数2的影响微乎其微，把它去掉之后，我们同样得到一个比较简单的绝对值函数

|x| = \lim\limits_{k \to +\infty}\frac{1}{k} \ln(e^{kx} + e^{-kx}) \tag{11}

对比(6)和(11)可知，无论选用\text{sign}(x)还是\theta(x)，最终|x|的近似函数都是一样的，这也从侧面证明了这个式子的准确性

将式(11)带入到式(1)得

\begin{aligned} \max(x,y) &= \frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|)\\ &= \lim\limits_{k \to +\infty}\frac{1}{2k}\{\ln[e^{k(x+y)} + e^{-k(x+y)}]+\ln[e^{k(x-y)} + e^{-k(x-y)}]\}\\ &= \lim\limits_{k \to +\infty}\frac{1}{2k}\ln(e^{2kx}+e^{-2kx}+e^{2ky}+e^{-2ky}) \end{aligned}\tag{12}

由于式(1)是在x\ge 0, y\ge 0时成立的，所以式(12)中的e^{-2kx},e^{-2ky}都不重要了，我们也把它去掉，进一步得到

\max(x,y) = \lim\limits_{k \to +\infty}\frac{1}{2k}\ln(e^{2kx}+e^{2ky}) \tag{13}

或者写成

\max(x,y) = \lim\limits_{k \to +\infty}\frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{ky}) \tag{14}

(14)式正是我们希望得到的理想的最大值函数。虽然我们的推导基于x\ge0,y\ge0，但是不难发现，对于x,y中出现负数时，上述公式仍然成立！它甚至还可以推广到多个变量的最大值函数：

\max(x,y,z,\dots)=\lim_{k\to +\infty} \frac{1}{k}\ln(e^{kx}+e^{ky}+e^{kz}+\dots)\tag{15}

补充

对于式(14)我们不妨设k=1，令x=3,y=8，则\ln(e^3 + e^8)\approx8.00672 。由于x和y都在指数位置上，因此它们的差距将会放得很大。虽然3和8这两个数虽然相隔不远，但e^3\approx20.0855,e^8\approx2980.96，两个幂差了几个数量级。因此，把e^3加到e^8上，几乎不会改变e^8的大小。对e^3+e^8取对数的结果和直接对e^8取对数的结果相差不多，并且这个函数可以通过控制k的大小实现精度控制，k越大则结果越近似